Question

设函数f(x)=ka^x-a^(-x)(a>0且a≠1,k∈R),f(x)是定义域为R的奇函数.

(1)求k的值,判断并证明当a>1时,函数f(x)在R上的单调性. (2)已知f(1)=3/2,函数g(x)=a^2x+a^(-2x)-2f(x),x∈[-1,1],求g(x)的值域.

Answer 1

解:由题意得
f(-x)=-f(x)
=>ka^(-x)-a^x=-ka^x+a^(-x)
=>k[a^(-x)+a^x]-[a^(-x)+a^x]=0
=>k-1=0 =>k=1 =>f(x)=a^x-a^(-x)
(1) f(1)>0
=>a-a^(-1)>0 (a>0)
=>a^2>1
=>a>1 即函数f(x)=a^x+[-a^(-x)]为增函数
∵函数f(x)是奇函数
∴f(x^2+2x)+f(x-4)＞0
=>f(x^2+2x)>-f(x-4)
=>f(x^2+2x)>f(-x+4)
∴x^2+2x>-x+4
=>(x+4)(x-1)>0
=>x<-4或x>1 即不等式f(x^2+2x)+f(x-4)＞0的解集为（-oo，-4）或（1，+oo)
(2) g(x)=a^2x+a^-2x-4f(x)
=[a^x-a^(-x)]^2+2-4f(x)
=f(x)^2-4f(x)+2
=[f(x)-2]^2-2
∵f(1)=3/2
∴a-a^(-1)=3/2 =>a=2
∴函数f(x)递增
=>(f(x)-2)min=0
∴g(x)min=-2 即g(x)在[1,.正无穷大)上的最小值为-2.
请采纳。

追问

你看准了，不是你复制的那道题

Answer 2

只有第二小题，望采纳！

（2）f(1)=3/2
 ∴a-a^(-1)=3/2 =>a=2

g(x)=a^2x+a^-2x-2f(x)

=2^2x+2^-2x-2×2^x+2×2^-x
=(2^x-2^-x)^2-2(2^x-2^-x)+2

令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数
∵x∈（-1，1）

∴t∈（3/2,3/2）

y=h(t)=t^2-2t+2=(t-1)^2+1

ymin=h(1)=1

ymax=h(-3/2)=29/4

∴g(x)的值域为[1，29/4]