Question

此题是关于数学考研的曲面积分题∫∫（xdydz+ydzdx+zdxdy)/(x2+y2+z2)3/2,曲面是上半椭圆球面

椭圆球面方程为x2/4+y2/9+z2/25=1(z ≥ 0)的上侧。（注：分母后面的3/2意思是平方和的2分之3次方
因为我做了第一问，这是第二问，第一问是的曲面是球面方程，我会做，但这一问的方程是椭圆球面，但不知道怎么构造方程解题，我估计也是用高斯公式，但不知道怎么下手。请达人帮忙解答，谢谢！

Answer 1

具体回答如下：

原式

=∫∫∫(1+1+1)dxdydz （应用奥高公式）

=3∫dθ∫rdr∫dz（作柱面坐标变换）

=6π∫(1-r^2)rdr 

=6π(1/2-1/4) 

=3π/2

直接运用高斯公式 

∫∫ xdydz+ydzdx+zdxdy (外侧) 

= ∫∫∫ (1+1+1) dxdydz 

= 3∫∫∫ dxdydz = 3 * 球体积 

= 3 * (4/3)(π*1³) 

= 4π

曲面积分：

定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分，曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。

第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

Answer 2

追问

我书上的答案是2π，如果不按照刚网上搜到的解题方法，我会认为你的肯定正确，但又得不到2π这个值啊，会以为答案是错的。但是刚搜到的解题方法我又不理解，他不但和你一样，构造了一椭圆平面把底部封住，就成封闭曲面了，但他又构造了一曲面，他取很小的值ξ，使 z=根号下（ξ平方-x平方-y平方），实际上他的意思是封闭曲面还要加上这个曲面，最后再减去这个曲面积分，最后的值就是2π了，WHY！

追答

我弄错了，我计算奇点的时间算出来的是0，

他这样用的是小球的挖奇点，方向下侧

追问

您好，再打扰您一下，为什么当曲面为纯球面的时候，我计算就不需要挖奇点呢，你看，同样是分母不能为零，对于纯球面来说（0，0，0）也是奇点，但我的方法是x2+y2+z2=a2带入到分母当中，直接高斯得整个球面的面积，然后取面积的一半，就是球面上侧的面积，根本没有挖奇点这个做法，怎么到了椭圆球面就要挖奇点这个做法呢，能给我讲解一下吗，给您加分，万分感谢！

追答

纯球也需要挖奇点，只是有的曲面代入积分函数后可以消去奇点而已!