Question

请问这个题目怎么证明？谢谢！

Answer 1

反证法。
假设BY=0有非零解：β y_1 + (β+α_1) y_2 + ... + (β+α_s) y_{s+1} = 0
首先，y_1 + y_2 + ... + y_{s+1} ≠ 0，否则上式可化为：
α_1 y_2 + α_2 y_3 + ... + α_s y_{s+1} = 0
由于 α_1、α_2、...、α_s 是基础解系，它们线性无关，所以由上式可得到：
y_2 = y_3 = ... = y_{s+1} = 0
因此 y_1 = 0，与假设中的 Y 是非零解矛盾。
所以 y_1 + y_2 + ... + y_{s+1} ≠ 0

因此 β = [α_1 y_2 + α_2 y_3 + ... + α_s y_{s+1}] / (y_1 + y_2 + ... + y_{s+1})
所以 β 在由基础解系张成的空间中。
所以 β 也是 AX = 0的解。
与 Aβ ≠ 0 矛盾。

Answer 2