Question

已知函数f(x)=-2x²+bx+c在x=1时有最大值1,当x∈[m,n](0<m<n)时,f(x)的取值范围

已知函数f(x)=-2x²+bx+c在x=1时有最大值1,当x∈[m,n](0<m<n)时,f(x)的取值范围为[1/n,1/m],求m,n的值
这道题算简单的了吧，大神们应该会的吧？

Answer 1

f<X>=-2x^2+bx+c在x=1时有最大值1
∴f(x)=-2(x-1)²+1
f(x)的对称轴为x=1,图像开口朝下
0<m<n,并且x∈[m,n]时，
f<x>的取值范围是[1/n,1/m]

当m<n≤1时，f(x)在[m,n]上递增
∴f(x)min=f(m)=-2m²+4m-1=1/n ≥1
f(x)max=f(n)=-2n²+4n-1=1/m >1
矛盾

当0<m≤1<b时，
1∈[m,n] , x=1时，f(x)max=1=1/m,
∴m=1,
f(x)min=f(n)=-2n²+4n-1=1/n
∴2n³-4n²+n+1=0
==> (n-1)(2n²-2n-1)=0
==>n-1=0或2n²-2n-1=0
==>n=1（舍）或n=1-√2（舍）或n=1+√2
∴m=1,n=1+√2

当1<m<n时，f(x)在[m,n]上递减
f(x)min=f(n)=-2n²+4n-1=1/n
f(x)max=f(m)=-2m²+4m-1=1/m
两个方程是同一个方程
0<m<n ,则m=1,n=1+√2
与m>1矛盾

∴m=1.n=1+√2