Question

一道排列组合的题目，求大神解答，万分感谢

Answer 1

排列组合题目的基础就是分步计算思想和分组计算思想，这两个思想要踏实的掌握。剩下的就是做题的时候能够准确地对题目进行分析和解读。分清什么是排列题目，什么是组合题目，别混了。剩下的就好做了。
比如说第一小题：
甲乙丙三人都不能排在两端，那显然他们三个就只能排在中间的四个位置，于是我们可以这样想：分两步
步骤一：先安排甲乙丙三人的位置
步骤二：安排剩下的三个人的位置
两个步骤之间按照什么组合？很显然是两组
比如我们从A到C，中间必须经过B，从A到B有三条线路，从B到C有两条线路，那么我们到C有几条线路可选？
我们分两步到C，步骤一：先到B，有三条线路
步骤二：再到C有两条路
所以总共可选的路线有6条。
图片中的题目和我说的例子其实本质上是一致的。
先安排甲乙丙三人，安排方法就是四个位置选择三个，且与位置相关，是排列题目，四选三，数目是4*3*2=24
再来安排剩下的三人，三选三的全排列，数目是3*2*1=6
所以答案就是6*24=144

再比如说题目二：女生不能排在两端，那么两端当然是男生，还要求两个女生相邻，那么我们就把这两个女生先看做一个人，行吧。就相当于一个女生和五个男生一起排列，并且女生不能排在两端。有多少中排列方法呢。
也有好几种思考方法，比如
思考一：先把五个男生排好，可以吧，这就是5的全排列，数目是：5*4*3*2=120
那现在我们在这五个男生中插进一个女同学的位置，由于五个男生已经排好，剩下有四个孔（两个男生相邻的缝隙就是一个孔），那现在女生有几种选择呢？显然有四种，所以总的排列方法就是120*4=480
思考二：六个人一起排，先安排女生，除去两端，剩下四个位置给女生，所以是四选一，然后剩下的五个位置留给五个男生随便选，是5的全排列。答案也是480，
然后我们再把这个女生变为两个，因为她们也有位置之别，也就是2的全排列，所以最终的答案就是960

再来第三题：
甲乙两人中间至少有一人，于是可以有1，2，3这三个中的任意一个数目，我们可以这样正向分类讨论，但是这样讨论的数目会比较多，得分三类，所以遇到这种什么至少**的题目的时候，我们一般考察他的对立面。
也就是甲乙两人中间没有人，他两个是连着的时候，也可以先把他两个看做一个整体，和其余三个人一起排列，这就是4的全排列，数目是4*3*2=24，然后他两个也有位置之别，所以还得乘上2，所以数目是48，由于考虑的是反面，而整体的排列数目是5的全排列，120，所以最终答案就是120-48=72.这就是最终答案

至于正向思考，下面简单说一下：
情况一：中间刚好有一个人，但是是那个人呢，剩下的三个人都有可能。于是也可以像前面一样逐步进行简化思考：
首先排剩下的两个人，是2的全排列，数目是2，现在来插进剩下的甲乙和另外一个人，此时我们把他们三个看做一个整体，怎么插进去呢？显然有三种选择：两人的中间和两边，所以数目就变成了2*3，
插进去之后，再来细分他们内部，首先三人都可以进来，所以还得乘上3（注：这里乘上三就表示外面的两个人就已经确定了，当然我们也可以换一种方式思考，首先在三个人中间挑选两个来排好外面的两个位置，这就是3*2，两者答案是一样的，但是思考的顺序却不一样），然后两人还有位置之别，所以还得乘上2，也就是最终的数目是：2*3*3*2=36

刚好有两个人。为保持和前面思路的一致，这里先来排列剩下的一人，很显然他只有一种排列可选，于是数目是1，将剩下的四人看作整体插入现有排列中，只有左右两种选择，所以乘上2，接下来在看四个人的内部，先排中间的两人，但是这两个人是从三个人当中挑选的，所以是3*2，然后再来排列甲乙，数目是2，所以最终数目是1*2*3*2*2=24
刚好有三个人，此时就是甲乙在两端，所以数目是2*3*2=12
所以答案就是：36+24+12=72，这和之前反面思考的结果一致。

其余的题目楼主你自己做一下吧，要点都差不多，就是要掌握好分类的分步这两种思路，然后分清楚和顺序是否相关，最后清晰地对题目进行分解，分解成几步来完成的事件即可

最后再给你最后几题中的一道题分析一下吧，希望对你有所帮助。
第九题：
班主任坐中间，剩下的八个人平均分在两边，但要求两边都有三好学生，那么有多少种情况呢？我们简单列举一下：左边一个三好生，右边两个；
左边两个三好生，右边一个。

计算方法：
正向计算法：
情况一：左边一个三好生，右边两个，
首先确定左边的三好生是谁？数目是三选一，是3，然后还有三个普通学生还要排在左边，先确定这三个学生是谁？数目是五选三，然后和这个三好学生一起进行全排列。于是数目是5*4*3*4*3=720，剩下的四个同学全排列，4*3*2=24,两者分步组合，所以结果是：720*24=17289
情况二：左边两个三好生，右边一个，
这和情况一其实是对称的。正如我们如下的思考一样：不分左右，只分一边两个，一边一个，然后再来确定那边一个那边两个一样，二选一。
所以答案就是17280*2=34560

逆向计算方法：三好学生只在某一边，在此我们不管是哪一边，比如是左边，三个三好生都在这里，四个位置当中随便选，数目是4*3*2=24，剩下的一个位置在剩下的五个学生中随便选一个，五选一，所以数目是24*5=120，剩下的另一边用剩下的四个学生全排列，4*3*2=24，所以数目是120*24=2880，但是三好学生可以在左右两边任选一边，所以还要乘上2，最终数目是5760
此时再来计算整体的数目，也就是没有排列规则，只要学生均匀站在班主任两边即可时候的数目。
先确定左边，八选四，8*7*6*5，再确定右边，四选四，4*3*2，所以最终数目是：
8*7*6*5*4*3*2=40320，所以最终结果就是40230-5760=34560

这里为什么整体的数目恰好是8的全排列呢？是因为数字巧合了么？显然不是。楼主你可以试着先排列学生，最后再把老师插进队伍中，就可以更加清晰了

Answer 2

1.144 2.960 3. 72 4.144 5. 72 6.480 7. 5760 8. 7200 9.34560 10.504
希望能帮到你

追问

麻烦可以写一下过程吗？

追答

1.甲乙丙三人都不排在两端那么甲乙丙只能在中间4个位置A3(4)
剩下3个人全排A3(4)*A3(3)=144
2.两女相邻捆绑A22,女生不在两端，插入法，先让男生站好A55，形成四个空，女生位置排法C41
所以一共有A22A55C41=960
3.插空法：其余三个人排好 让甲乙往空隙里边插就不会挨着了
其余三人的站法：3*2*1=6
三人站好一共四个空：则甲乙一个有4种选择另一个只剩三种选择：4*3=12
综上：3*2*1*4*3=72种
4.方法1：∵甲乙两人之间至少有两个人，∴甲乙两人之间有两个、三个或者四个人
∴共有A24*A22*A33+A34*A22*A22+A44*A22=144+96+48=288种方法。
方法2：∵甲乙两人之间至少有两个人，∴其对立事件为甲乙两人之间有一个人或者没有人
∴共有A66-(A14*A22*A44+A22*A55)=720-(192+240)=288种方法。

追问

能写下后面几题的解析吗。主要是后面几题不会做，谢谢