Question

定积分 ∫上限正无穷，下限是一 1/[x^2(x+1)]dx

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

答：
下限是多少？-1的话积分为∞，应该不是-1吧？设下限为a。
先算不定积分 ∫ 1/(x^2(x+1)) dx
=∫ 1/(x+1)-(x-1)/x^2 dx
=∫ 1/(x+1)-1/x+1/x^2 dx
=ln|x+1|-ln|x|-1/x + C
=ln|(x+1)/x|-1/x + C
因为当x→+∞时，limx→+∞ ln|(x+1)/x|-1/x = limx→+∞ ln|(x+1)/x| - limx→+∞ 1/x = ln1-0=0
所以广义积分收敛。
所以定积分∫(a到+∞) 1/(x^2(x+1)) dx
=ln|(x+1)/x|-1/x |(a到+∞)
=0-ln|(a+1)/a|+1/a
可见当a=-1时，上式为+∞