Question

关于圆的切线证明题

如图,AB是⊙O的直径，C点在圆上，CD⊥AB于D，P在BA延长线上，且∠PCA=∠ACD。求证：PC是⊙O的切线。 （OC是我自己连的）

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Answer 1

证明：

因为：CD⊥AB

所以：∠CDO=90°，∠COP+∠DCO=90°

因为：CO=AO=R

所以：∠CAO=∠ACO

根据三角形外角定理有：∠CAO=∠P+∠PCA

因为：∠PCA=∠ACD

所以：∠P+∠PCA=∠ACO=∠ACD+∠DCO

所以：∠P=∠DCO

所以：∠P+∠COP=90°

所以：∠PCO=90°

所以：PC是圆O的切线

Answer 2

证：因为：M是AC的中点
所以：AM=CM，且OM=OM
所以：△OAM≌△OCM（边、边、边）
由此得：∠AOP=∠COP（全等三角形对应角相等）
连接OC，则OC=OA，且OP=OP
所以：△AOP≌△COP（边、角、边）
所以：∠OAP=∠OCP（全等三角形对应角相）
而PA⊥AB，即：∠OAP=90°
所以：∠OCP=90°
即：OC⊥PC
所以：PC是⊙O的切线。
证毕。