Question

微积分 用极限定义证明等式

用极限的定义证明：lim (arctan(n)/m)=0 当n趋向于正无穷时
极限定义：|an-L|< ε

a>0, 计算以下极限

附带具体过程 谢谢





Answer 1

　　微积分中用极限定义证明等式如下：

　　微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

Answer 2

1
证明：
对于任意的ε>0.，存在N(ε)=[π/2ε],
使得当n>N(ε)时，
|arctann/n-0|<=π/2n<π/2N(ε)<ε

所以原极限=0

2
(a)
√n[√(n+α)-√n]
=√n[√(n+α)-√n][√(n+α)+√n] / [√(n+α)+√n]
=α√n / [√(n+α)+√n]
所以，原极限=α/2

(b)
设x=1/n
原极限=lim(n->∞) [α^(1/n)-1]/(1/n)
=lim(x->0) [α^x-1] / x
=lim(x->0) α^xlnα
=lnα

Answer 3

首先说一下，题目打错了，要不是下面有图，我开始怀疑自己的智商勒(>﹏<)
[arctann/n]≤[arctann]/n≤π/2n＜ε
这道题我们可以这样做:取N=[π/2ε]，当n＞N时便有……即证。
有疑问请追问，满意请采纳~\(≧▽≦)/~

追答

a.
√n[√(n+a)-√n]
=√n[√(n+a)-√n][√(n+a)+√n] / [√(n+a)+√n]
=a√n / [√(n+a)+√n]原极限=lima/√(1+a/n)+1=a/2

(b)
令t=1/n
原极限=lim(t->0)[a^t-1]/t=lim(t->0) tlna/t
=lna
即证。~\(≧▽≦)/~