Question

如图，四边形 ABCD 中，∠ ABC ＋∠ D ＝180°， AC 平分∠ BAD ， CE ⊥ AB 于 E ， CF ⊥ AD 于 F . 试

如图，四边形 ABCD 中，∠ ABC ＋∠ D ＝180°， AC 平分∠ BAD ， CE ⊥ AB 于 E ， CF ⊥ AD 于 F . 试说明：（1）△ CBE ≌△ CDF ; （2） AB ＋ AD ＝2 AF .

Answer 1

证明见解析

(1)  ∵ AC 平分∠ BAD ， CE ⊥ AB ， CF ⊥ AD ∴ CE = CF ∵ ∠ ABC +∠ CBE =180 º ∠ ABC ＋∠ D ＝180° ∴∠ CBE =∠ D                ………………2分 在 △ CBE 与△ CDF 中 ∠ CBE =∠ D ∠ BEC =∠ CFD CE = CD △ CBE ≌△ CDF ( AAS )         ………………5分 (2) ∵ △ CBE ≌△ CDF ( AAS ) ∴ BE = DF 在 △ AEC 与△ AFC 中 CE = CF AC = AC △ AEC ≌△ AFC ( HL )     ………………8分 ∴ AE = AF ∴ AB ＋ AD ＝ AE ＋ AF    ∴ AB ＋ AD ＝2 AF           ………………10分 （1）根据角平分线的性质可得到CE=CF，根据余角的性质可得到∠EBC=∠D，已知CE⊥AB，CF⊥AD，从而利用AAS即可判定△CBE≌△CDF． （2）已知EC=CF，AC=AC，则根据HL判定△ACE≌△ACF得AE=AF，最后证得 AB ＋ AD ＝2 AF .即可．