Question

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A 1 EF的位置，使二面角A 1 -EF-B成直二面角，连接A 1 B、A 1 P（如图2） （Ⅰ）求证：A 1 E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A 1 E与平面A 1 BP所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B-A 1 P-F的大小（用反三角函数表示）．

Answer 1

解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3 （1）在图1中，取BE中点D，连接DF．AE：EB=CF：FA=1：2 ∴AF=AD=2而∠A=60°， ∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1， ∴EF⊥AD在图2中，A 1 E⊥EF，BE⊥EF， ∴∠A 1 EB为二面角A 1- EF-B的平面角．由 题设条件知此二面角为直二面角，A 1 E⊥BE，又BE∩EF=E（2） ∴A 1 E⊥平面BEF， 即A 1 E⊥平面BEP （3）在图2中，A 1 E不垂直A 1 B， ∴A 1 E是平面A 1 BP的垂线，又A 1 E⊥平面BEP， ∴A 1 E⊥BE． 从而BP垂直于A 1 E在平面A 1 BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A 1 E在平面A 1 BP内的射影为A 1 Q，且A 1 Q交BP于点Q，则∠E 1 AQ就是A 1 E与平面A 1 BP所成的角，且BP⊥A 1 Q． 在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=60°， ∴△EBP是等边三角形．又A 1 E⊥平面BEP， ∴A 1 B=A 1 P， ∴Q为BP的中点，且 EQ= 3 ，又A 1 E=1， 在Rt△A 1 EQ中， tan∠E A 1 Q= EQ A 1 E = 3 ， ∴∠EA 1 Q=60°， ∴直线A 1 E与平面A 1 BP所成的角为60° 在图3中，过F作FM⊥A 1 P与M，连接QM，QF， ∵CP=CF=1，∠C=60°， ∴△FCP是正三角形， ∴PF=1．有 PQ= 1 2 BP=1 ∴PF=PQ①， ∵A 1 E⊥平面BEP， EQ=EF= 3 ∴A 1 E=A 1 Q， ∴△A 1 FP≌△A 1 QP从而∠A 1 PF=∠A 1 PQ②， 由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP， ∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ， 从而∠FMQ为二面角B-A 1 P-F的平面角． 在Rt△A 1 QP中，A 1 Q=A 1 F=2，PQ=1，又∴ A 1 P= 5 ． ∵MQ⊥A 1 P，∴ MQ= A 1 Q?PQ A 1 P = 2 5 5 ∴ MF= 2 5 5 在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得 QF= 3 在△FMQ中， cos∠FMQ= M F 2 +M Q 2 -Q F 2 2MF?MQ =- 7 8 ∴二面角B-A 1 P-F的大小为 π-arccos 7 8