Question

若抛物线C：y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于两点P 1 ，P 2 ，已知|P 1 P 2

若抛物线C：y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于两点P 1 ，P 2 ，已知|P 1 P 2 |=8．（1）过点M（3，0）且斜率为a的直线与曲线C相交于A、B两点，求△FAB的面积S（a）及其值域．（2）设m＞0，过点N（m，0）作直线与曲线C相交于A、B两点，若∠AFB恒为钝角，试求出m的取值范围．

Answer 1

（1）由条件得2p=8，∴抛物线C的方程为y 2 =8x， 设过M所作直线方程为y=a（x-3）代入y 2 =8x得ay 2 -8y-24a=0 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则y 1 +y 2 = 8 a ，y 1 y 2 =-24， ∴S（a）= 1 2 |MF||y 1 -y 2 |=2 6+ 4 a 2 ＞2 6 ∴值域为（2 6 ，+∞）； （2）设直线方程为ty=x-m，代入y 2 =8x得y 2 -8ty-8m=0， 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则y 1 +y 2 =8t，y 1 y 2 =-8m ∵F（2，0），∴ FA =（x 1 -2，y 1 ）， FB =（x 2 -2，y 2 ）， ∵∠AFB为钝角，∴ FA ? FB ＜0，∴（x 1 -2）（x 2 -2）+y 1 y 2 ＜0， 即x1x2-2（x1+x2）+4-8m＜0， ∴ ( y 1 y 2 ) 2 64 -2[t（y 1 +y 2 ）+2m]+4-8m＜0， 因此m 2 -12m+4＜0，∴6-4 2 ＜m＜6+4 2 ∵m≠2，∴m的范围是（6-4 2 ，2）∪（2，6+4 2 ）．