Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧 AC 的中点，BD交AC于点E．（1）求证：

如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧 AC 的中点，BD交AC于点E．（1）求证：AD 2 =DE?DB；（2）若BC= 5 2 ，CD= 5 2 ，求DE的长．

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Answer 1

（1）证明：由D是劣弧 AC 的中点，得 AD = DC ?∠ABD=∠DAC， 又∵∠ADB=∠EDA， ∴△ABD ∽ △EAD， ∴ AD DE = DB AD ， ∴AD 2 =DE?DB； （2）由D是劣弧 AC 的中点，得AD=DC，则DC 2 =DE?DB ∵CB是直径， ∴△BCD是直角三角形． ∴BD= B C 2 -C D 2 = ( 5 2 ) 2 - ( 5 2 ) 2 = 5 由DC 2 =DE?DB得， ( 5 2 ) 2 = 5 DE， 解得DE= 5 4 ．

Answer 2

首先更正一下你第二问的错误！！！应该为BC=5/2
证明：在圆O中
∵D是劣弧AC的中点
∴∠CBD=∠DBA
∵∠CBD=∠CAD
(同弧所对的
圆周角
)
∴∠DBA=∠CAD
∵∠BDA=∠EDA
∴△ABD∽△EAD
∴AD/ED=DB/DA
∴AD²=ED*DB
(2)
∵AB为直径
∴在Rt△BCD中
∴BD=√(BC²-CD²)=√[(5/2)²-(√5/2)²]=√5
∵AD=DC
(D是劣弧AC的中点)
∵AD²=ED*DB
∴(√5/2)²=ED*√5
∴ED=√5/4