如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD ∥ BC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．（Ⅰ

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求... 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD ∥ BC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PA上是否存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是 2 3 ，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由． 展开
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#合辑# 机票是越早买越便宜吗？
jmdzwyd8a24
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知道答主
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（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是梯形，AD ∥ BC，∠DAB=90°，
∴BC⊥AB
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）以A为原点，分别以AD，AB，AP所在直线x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∴A（0，0，0），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），P（0，0，2）．
∴
PC
=(2，2，-2) ，
AB
=(0，2，0) ．
∴cos ＜
PC
，
AB
＞ =
PC
?
AB
|
PC
||
AB
|
=
4
4
 3
=
3
3

∴异面直线PC与AB所成角的余弦值是
3
3
…（8分）
（Ⅲ）假设在侧棱PA上存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是
2
3
，
设E（0，0，m）（m＞0），∴
DC
=(1，2，0)，
DE
=(-1，0，m) ，
∴设平面CDE的法向量为
n
=(x，y，z) ，
∴
n
?
DC
=0，
n
?
DE
=0 ，
∴
x+2y=0
-x+mz=0

令x=2，所以y=-1，z=
2
m
，∴
n
=(2，-1，
2
m
) ．
又∵平面ACD的法向量为
AP
=(0，0，2) ，
∴cos ＜
n
，
AP
＞ =
n
?
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