Question

已知抛物线x 2 =4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且 ，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为

已知抛物线x 2 =4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且 ，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，（Ⅰ）证明 为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值。





Answer 1

解：（Ⅰ）由已条件，得F（0，1），λ＞0， 设 ，由 ，即得 ， ∴ ， 将①式两边平方并把 代入得 ， ③ 解②、③式得 ，且有 ， 抛物线方程为 ，求导得 ， 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 ， 即 ， 解出两条切线的交点M的坐标为 ， 所以 所以 为定值，其值为0； （Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而 ，  因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离， 所以 |AB|=|AF|+|BF|=y 1 +y 2 +2= ， 于是 ， 由 ， 且当λ=1时，S取得最小值4。