Question

（2013?昆明）已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O

（2013?昆明）已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OB，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠ACB，
∵∠PBA=∠ACB，
∴∠PBA=∠OBC，
即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，
∴OB⊥PB，
∵OB为半径，
∴PB是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，则AC=2r，OB=r，
∵OP∥BC，∠OBC=∠OCB，
∴∠POB=∠OBC=∠OCB，
∵∠PBO=∠ABC=90°，
∴△PBO∽△ABC，
∴

OP

AC

=

OB

BC

，
∴

8

2r

=

r

2

，
r=2

2

，
即⊙O的半径为2

2

．