Question

已知双曲线C的方程为x2a2?y2b2＝1（a＞0，b＞0），过右焦点F作双曲线在一，三象限的渐近线的垂线l，垂足

已知双曲线C的方程为x2a2?y2b2＝1（a＞0，b＞0），过右焦点F作双曲线在一，三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线C的左右的交点分别为A，B（1）求证：点P在直线x＝a2c上（C为半焦距）．（2）求双曲线C的离心率e的取值范围．（3）若|AP|=3|PB|，求离心率．

Answer 1

（1）∵双曲线在一，三象限的渐近线为y=

b

a

x，右焦点F（c，0）
∴所求的直线l：y＝?

a

b

(x?c)
由y＝

b

a

x及y＝?

a

b

(x?c)联立解得P的坐标P：(

a2

c

，

ab

c

)
所以点P在直线x＝

a2

c

上
（2）由

y＝? b a (x?c) x2 a2 ? y2 b2 ＝1

消去y得（b⁴-a⁴）x²+2a⁴cx-a²（a²c²+b⁴）=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）∴x1+x2＝

2a4c

a4?b4

，x1x2＝

a2(a2c2+b4)

a4?b4

＜0
∴b²＞a²即c²＞2a²
∴e＞

2

（3）由题知P分AB所成比λ=3
∴

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