Question

已知f（x）=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0，1]内有一最大值-5，求a的值

已知f（x）=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0，1]内有一最大值-5，求a的值．

Answer 1

∵f（x）=-4x²+4ax-4a-a²=-4（x-

a

2

）²-4a，对称轴为x=

a

2

，
当a＜0时，

a

2

＜0，∴f（x）在区间[0，1]上是减函数，
它的最大值为f（0）=-a²-4a=-5，
∴a=-5，或a=1（不合题意，舍去），
∴a=-5；
当a=0时，f（x）=-4x²，不合题意，舍去；
当0＜a＜2时，0＜

a

2

＜1，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（

a

2

）=-4a=-5，
∴a=

5

4

；
当a≥2时，

a

2

≥1，f（x）在区间[0，1]上是增函数，
它的最大值为f（1）=-4+4a-4a-a²=-5，
∴a=±1，（不合题意，舍去）；
综上，a的值是a=

5

4

，或a=-5．