Question

已知椭圆C的中心在坐标原点O，长轴在x轴上，离心率为1/2，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4

已知椭圆C的中心在坐标原点O，长轴在x轴上，离心率为1/2，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4。P,Q是椭圆上任意不同的两点。1.求椭圆标准方程2.若
OP垂直于OQ,证明1/IOPI²+1/IOQI²为定值
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Answer 1

解：①c/a=1/2

2a=4
∴a=2 b=√3
故方程为x^2/4+y^2/3=1
②(1)当OPOQ有一个斜率不存在时：
1/OP^2+1/OQ^2=1/a^2+1/b^2=7/12
(2)当斜率均存在时：
设y=kx 代入x^2/4+y^2/3=1
得x^2=12/(4k^2+3)
∴y^2=12k^2/(4k^2+3)
故1/|OP|^2=(4k^2+3)/(12k^2+12)
代入k'=-1/k得：
1/|OP|^2=(4+3k^2)/(12k^2+12)
两式相加得：
1/IOPI^2+1/IOQI^2=(7k^2+7)/(12k^2+12)

=7/12
故由(1)(2)可得1/IOPI^2+1/IOQI^2恒为定值7/12

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