Question

已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线x2a2?y2b2＝1左支上的一点，若|PF2|2|PF1|＝8a，则双曲线

已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线x2a2?y2b2＝1左支上的一点，若|PF2|2|PF1|＝8a，则双曲线的离心率的取值范围是______．

Answer 1

由题意可得：

|PF2|2

|PF1|

＝8a，并且|PF₂|-|PF₁|=2a，
所以|PF₁|=2a，|PF₂|=4a．
因为P是为双曲线

x2

a2

?

y2

b2

＝1左支上的一点，
所以|PF₂|+|PF₁|=6a≥|F₁F₂|=2c，即e＝

c

a

≤3，
所以双曲线的离心率的取值范围是（1，3]．
故答案为（1，3]．