Question

已知a，b，c为正整数，且3a+b3b+c为有理数，证明a2+b2+c2a+b+c为整数

已知a，b，c为正整数，且3a+b3b+c为有理数，证明a2+b2+c2a+b+c为整数．

Answer 1

解答：证明：因为

3

是无理数，则

3

b?c≠0，
而

3 a+b

3 b+c

＝

( 3 a+b)( 3 b?c)

3b2?c2

=

3ab?bc+ 3 (b2?ac)

3b2?c2

为有理数，
所以b²-ac=0，
于是a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ac）=（a+b+c）²-2（ab+bc+b²）=（a+b+c）²-2b（a+c+b）=（a+b+c）（a-b+c），
因此，

a2+b2+c2

a+b+c

＝a?b+c为整数．