Question

函数fx=ax³+3x²+3x

函数fx=ax³+3x²+3x（a≠0）⑴讨论fx单调性⑵若fx在区间（1，2）为增函数，求a取值范围

Answer 1

f(x)=ax³+3x²+3x（a≠0）

f'(x)=3ax²+6x+3

Δ=6²-4*3a*3=36(1-a)

当 a>=1 时，Δ<=0，f'(x)=3ax²+6x+3>=0，f(x) 在整个实数范围单调递增，如下动画显示 a 从 1 到 2 时 f(x) 图像的变化动态

当 a<1 时，Δ>0，f'(x)=3ax²+6x+3 有两个不等实根 x=[-1±√(1-a)] /a

在 0<a<1 时

f(x) 的递增区间是（-∞，[-1-√(1-a)]/a）∪（[-1+√(1-a)]/a，+∞）

f(x) 的递减区间是（[-1-√(1-a)]/a，[-1+√(1-a)]/a）

如下动画显示 a 从 0 到 1 时 f(x) 图像的变化动态

在 a<0 时

f(x) 的递增区间是（[-1+√(1-a)]/a，[-1-√(1-a)]/a）

f(x) 的递减区间是（-∞，[-1+√(1-a)]/a）∪（[-1-√(1-a)]/a，+∞）

如下动画显示 a 从 -1 到 0 时 f(x) 图像的变化动态

若f(x)=ax³+3x²+3x（a≠0）在区间（1，2）为增函数，则有f(1)<f(2)

a*1³+3*1²+3*1<a*2³+3*2²+3*2

a>-12/7