Question

如图，在△ABC中，D为AB边上一点、F为AC的中点，过点C作CE//AB交DF的延长线于点E，连结AE．（1）求证：四

如图，在△ABC中，D为AB边上一点、F为AC的中点，过点C作CE//AB交DF的延长线于点E，连结AE．（1）求证：四边形ADCE为平行四边形．（2）若EF=2 ， ，求DC的长．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2）2+ .

试题分析：（1）首先证明△DAF≌△ECF，则AD=CE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得. （2）作FH⊥DC于点H，在Rt△DFH中利用三角函数求得FH的长，在Rt△CFH中利用勾股定理即可求解． 试题解析：（1）∵CE//AB，∴∠DAF=∠ECF． ∵F为AC的中点，∴AF=CF． ∵在△DAF和△ECF中  ， ∴△DAF≌△ECF（SAS）．∴AD=CE． ∵CE//AB，∴ 四边形ADCE为平行四边形． （2）如图，过点F作FH⊥DC于点H． ∵ 四边形ADCE为平行四边形． ∴ AE//DC，DF= EF=2 ， ∴∠FDC =∠AED=45°． 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF=2 ，∠FDC=45°， ∴ sin∠FDC= ，得FH=2， tan∠FDC= ，得DH=2． 在Rt△CFH中，∠FHC=90°，FH=2，∠FCD=30°，∴ FC=4． 由勾股定理，得HC= ． ∴ DC=DH+HC=2+ ．