Question

已知函数f（x）= lnx x + a x -1（a∈R）（1）求函数f（x）的图象在点（1，f（1）

已知函数f（x）= lnx x + a x -1（a∈R）（1）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）≤0在区间（0，e 2 ]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），导函数f′（x）= 1-(lnx+a) x 2 ， ∴k=f′（1）=1-a， 又f（1）=a-1，即切点坐标为（1，a-1）， 所以，函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为： y-（a-1）=（1-a）（x-1），即y=（1-a）x+2（a-1）． （2）结合（1），令f′（x）=0得x=e 1-a ，由对数函数的单调性知： 当x∈（0，e 1-a ）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数； 当x∈（e 1-a ，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数． （ⅰ）当e 1-a ＜e 2 时，a＞-1时，f（x） max =f（e 1-a ）=e a-1 -1， 令e a-1 -1≤0，解得a≤1，即-1＜a≤1， （ⅱ）当e 1-a ≥e 2 即a≤-1时，f（x）在（0，e 2 ]上是增函数， ∴f（x）在（0，e 2 ]上的最大值为f（e 2 ）= 2+a e 2 -1， 令 2+a e 2 -1≤0，解得a≤e 2 -2，即a≤-1， 综上可知，实数a的取值范围是a≤1．