Question

如图甲所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为L=0.40m，导轨平面与水平面成θ=30？角，上端和下端通过

如图甲所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为L=0.40m，导轨平面与水平面成θ=30？角，上端和下端通过导线分别连接阻值R 1 =R 2 =1.2Ω的电阻，质量为m=0.20kg、阻值为r=0.20Ω的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直且保持良好接触，整个装置处在垂直导轨平面向上的磁场中，取重力加速度g=10m/s 2 ．若所加磁场的磁感应强度大小恒为B，通过小电动机对金属棒施加力，使金属棒沿导轨向上做匀加速直线运动，经过0.5s电动机的输出功率达到10W，此后保持电动机的输出功率不变，金属棒运动的v-t图如图乙所示，试求：（1）磁感应强度B的大小；（2）在0-0.5s时间内金属棒的加速度a的大小；（3）在0-0.5s时间内电动机牵引力F与时间t的关系；（4）如果在0-0.5s时间内电阻R 1 产生的热量为0.135J，则这段时间内电动机做的功．

Answer 1

（1）由图象可知，当金属棒的最大速度为v m =5m/s，因为此时电动机的功率恒为P=10W，根据P=Fv可得此时电动机对金属棒的拉力F= P v m   ① 对金属棒进行受力分析可得： 由图可知：F 合x =F-F 安 -mgsin30°=0 故此时F 安 =F-mgsinθ        ② 又因为回路中产生的感应电动势E=BLv m ③ 根据欧姆定律可得，此时回路中电流I= BL v m r+ R 2            ④ 由①②③④可解得B=1T （2）由题意可知，当t=0.5s时，金属棒获得的速度v=at 此时电路中产生的感应电流I= BLv r+ 1 2 R ，金属棒受到的安培力= F 安 = B 2 L 2 v r+ 1 2 R 此时电动机的拉力F= P v 则对金属棒进行受力分析有：F-F 安 -mgsinθ=ma 代入有关数据有： P at - B 2 L 2 at r+ 1 2 R -mgsinθ=ma 又因为t=0.5s，m=0.2kg，R=1.2Ω，r=0.20Ω，θ=30° 所以可计算得a= 20 3 m/ s 2 （3）在0-0.5s时间里对金属棒进行受力分析有：   F-F 安 -mgsinθ=ma得 F=ma+mgsin30°+F 安 代入a= 20 3 m/ s 2 ， F 安 = B 2 L 2 v r+ 1 2 R ，m=0.2kg，R=1.2Ω，r=0.20Ω，θ=30° 可计算得F= 4t 3 + 7 3 ． （4）令通过导体棒的电流为I，则通过电阻R 1 和R 2 的电流分别为 1 2 I 电流做功Q=I 2 Rt得： 对于R 1 产生的热量： Q 1 =( I 2 ) 2 Rt 对于R 2 产生的热量： Q 2 =( I 2 ) 2 Rt 对于导体棒r产生的热量： Q 3 = I 2 rt 因为I和t相等，R=1.2Ω，r=0.2Ω，Q 1 =0.135J 所以可以计算出：Q 2 =Q 1 =0.135J，Q 3 =0.09J 即整个电路产生的热量Q=Q 1 +Q 2 +Q 3 =0.36J 对整个0.5s过程中由于导体棒的加速度为 20 3 m/ s 2 在0.5s的时间里，导体棒沿轨道上升的距离 x= 1 2 a t 2 = 1 2 × 20 3 × ( 1 2 ) 2 m= 5 6 m 0.5s末导体棒的速度v=at= 20 3 × 1 2 m/s= 10 3 m/s 在这0.5s的时间里，满足能量守恒，故有： W F -Q-mgxsinθ= 1 2 m v 2 ∴力F做功为： W F =Q+mgxsinθ+ 1 2 m v 2 代入Q=0.36J，m=0.2kg，x= 5 6 m ， v= 10 3 m /s可得： W F =2.34J 答：（1）磁感应强度B=1T； （2）在0-0.5s时间内金属棒的加速度a= 20 3 m/ s 2 ； （3）在0-0.5s时间内电动机牵引力F与时间t的关系：F= 4t 3 + 7 3 ； （4）如果在0-0.5s时间内电阻R 1 产生的热量为0.135J，则这段时间内电动机做的功W F =2.34J．