高数积分证明题

设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续,(a>0),且f(0)=0,证明:在[-a,a]上至少存在一点c,使得a^3f''(c)=3∫(a~-a)f(x)dx那个积分是... 设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续,(a>0),且f(0)=0,证明:在[-a,a]上至少存在一点c,使得a^3f''(c)=3∫(a~-a)f(x)dx
那个积分是上限为a,下限为-a,要过程,答得好的绝对加分。
等式左边是a的三次方
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茹翊神谕者

2021-09-17 · TA获得超过2.5万个赞
知道大有可为答主
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简单计算一下即可,答案如图所示

卖火柴的小神仙
2010-12-11 · TA获得超过560个赞
知道小有建树答主
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要用到泰勒公式和积分中值定理:
f(x)
=f(0)+f'(0)x+[f''(θ)/2]x^2
=f'(0)x+[f''(θ)/2]x^2

对上式在区间[-a,a]上作定积分
∫(a~-a)f(x)dx
=f'(0)∫(a~-a)xdx+∫(a~-a)[f''(θ)/2]x^2dx
到这一步一定要注意:θ是关于x的一个变量
∵x^2在区间[-a,a]上不变号,f''(θ)/2是[-a,a]上有界函数
f''(θ)/2∈[m/2,M/2]
∴利用积分中值定理
→接上面的等号:
=[ξ/2]∫(a~-a)x^2dx【ξ∈[m,M]】
=[f''(c)/2]∫(a~-a)x^2dx
=[f''(c)/2][2a^3/3]
=f''(c)a^3/3

∴在[-a,a]上至少存在一点c,使得a^3f''(c)=3∫(a~-a)f(x)dx
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