如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC作等边三角形ACD，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于
如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC作等边三角形ACD，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE．（1）求证：AE=CE=BE；...
如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC作等边三角形ACD，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE．（1）求证：AE=CE=BE；（2）若AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的一点．则当DP为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时△PBC的周长．
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（1）证明：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴点F是AC的中点（等腰三角形的三线合一的性质），
∴EF是△ABC的中位线，即可得点E是斜边AB的中点，
∴在RT△ABC中可得，AE=CE=BE；
（2）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，BC=9cm，
∴AC=
=
=12，
∵等边三角形ACD，DE⊥AC，
∴F是AC的中点，∠ADF=30°，
∴EF=
BC=
×9=4.5，AF=
AC=
×12=6，
∴AD=12cm，
∴DF=
=6
，
∴DE=DF+EF=6
+4.5（cm），
根据轴对称求最短路径的知识，可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小，也即△PBC的周长最小，
此时PB=PC=
AB=
，即DP=DE=（6
∴EF∥BC，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴点F是AC的中点（等腰三角形的三线合一的性质），
∴EF是△ABC的中位线，即可得点E是斜边AB的中点，
∴在RT△ABC中可得，AE=CE=BE；
（2）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，BC=9cm，
∴AC=
| AB2?BC2 |
| 152?92 |
∵等边三角形ACD，DE⊥AC，
∴F是AC的中点，∠ADF=30°，
∴EF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴AD=12cm，
∴DF=
| AD2?AF2 |
| 3 |
∴DE=DF+EF=6
| 3 |
根据轴对称求最短路径的知识，可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小，也即△PBC的周长最小，
此时PB=PC=
| 1 |
| 2 |
| 15 |
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