如图,△ABC中,∠ACB=90°,以AC为一边在△ABC作等边三角形ACD,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于
如图,△ABC中,∠ACB=90°,以AC为一边在△ABC作等边三角形ACD,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E,连接CE.(1)求证:AE=CE=BE;...
如图,△ABC中,∠ACB=90°,以AC为一边在△ABC作等边三角形ACD,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E,连接CE.(1)求证:AE=CE=BE;(2)若AB=15cm,BC=9cm,P是射线DE上的一点.则当DP为何值时,△PBC的周长最小,并求出此时△PBC的周长.
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(1)证明:∵DE⊥AC,∠ACB=90°,
∴EF∥BC,
又∵△ADC是等腰三角形,
∴点F是AC的中点(等腰三角形的三线合一的性质),
∴EF是△ABC的中位线,即可得点E是斜边AB的中点,
∴在RT△ABC中可得,AE=CE=BE;
(2)解:∵△ABC中,∠ACB=90°,AB=15cm,BC=9cm,
∴AC=
=
=12,
∵等边三角形ACD,DE⊥AC,
∴F是AC的中点,∠ADF=30°,
∴EF=
BC=
×9=4.5,AF=
AC=
×12=6,
∴AD=12cm,
∴DF=
=6
,
∴DE=DF+EF=6
+4.5(cm),
根据轴对称求最短路径的知识,可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小,也即△PBC的周长最小,
此时PB=PC=
AB=
,即DP=DE=(6
∴EF∥BC,
又∵△ADC是等腰三角形,
∴点F是AC的中点(等腰三角形的三线合一的性质),
∴EF是△ABC的中位线,即可得点E是斜边AB的中点,
∴在RT△ABC中可得,AE=CE=BE;
(2)解:∵△ABC中,∠ACB=90°,AB=15cm,BC=9cm,
∴AC=
AB2?BC2 |
152?92 |
∵等边三角形ACD,DE⊥AC,
∴F是AC的中点,∠ADF=30°,
∴EF=
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∴AD=12cm,
∴DF=
AD2?AF2 |
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∴DE=DF+EF=6
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根据轴对称求最短路径的知识,可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小,也即△PBC的周长最小,
此时PB=PC=
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