Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足是D，F是BC上一点，EF平分∠AFC，EG⊥AF于

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足是D，F是BC上一点，EF平分∠AFC，EG⊥AF于点G．（1）试判断EC与EG，CF与GF是否相等；（直接写出结果，不要求证明）（2）求证：AG=BC；（3）若AB=10，AF+BF=12，求EG的长．

Answer 1

（1）解：EC=EG，CF=GF，
理由是：∵∠C=90°，EG⊥AF，EF平分∠AFC，
∴CE=EG，
∵EF=EF，
∴由勾股定理得：CF=GF．

（2）证明：连接BE，
∵AB的垂直平分线DE，
∴AE=BE，
在Rt△AGE和Rt△BCE中，

AE＝BE EG＝EC

，
∴Rt△AGE≌Rt△BCE（HL），
∴AG=BC．

（3）解：∵AG=BC=BF+GF，
∴AG=BC=

1

2

（AF+BF）=

1

2

×12=6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=

AB2?BC2

=

102?62

=8，
设EG=EC=x，则AE=8-x，在Rt△AGE中，由勾股定理得：6²+x²=（8-x）²，
解得：x=1

3

4

，
∴EG的长是1

3

4

．