Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=22；（1）求证：平面ABC⊥平面APC；（2）求直线PA与平面PB

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=22；（1）求证：平面ABC⊥平面APC；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）若动点M在底面△ABC内（包含边界），二面角M-PA-C的余弦值为31010，求BM的最小值．

Answer 1

（1）证明：作AC的中点D，连结PD，BD，
∵PA=PC，
∴PD⊥AC，
∵PA=PB=AC=4，
∴∠PAC=60°，PD=

3

AD=2

3

，
∵AB=BC=2

2

，AC=4，
∴AC²=AB²+B²，
∴∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴BD=CD=2，
∴PB²=PD²+DB²，
∴PD⊥BD，
∵BD?平面ABC，AC?平面ABC，BD∩AC=D，
∴PD⊥平面ABC，
∵PD?平面APC，
∴平面ABC⊥平面APC．
（2）作BC的中点E，连结PE，AE，
∵PB=PC，AB=AC，
∴PE⊥BC，AE⊥BC，
∵PE?平面PDE，AE?平面PDE，PE∩AE=E，
∴BC⊥平面PDE，
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PED，
作PC的中点F，又D为AC的中点，
∴AP∥DF，
∴直线PA与平面PBC所成角与直线DF与平面PBC所成角相等，
有D向PE作垂线，交PE与G，
∵平面PBC⊥平面PED，平面PBC∩平面PED=PE，
∴DG⊥平面PBC，连结DF，
则∠DFG为直线DF与平面PBC所成角，
PD=2

3

，DE=

1

2

AB=

2

，DF=

1

2

AP=2
∴PE=

PD2+DE2

=

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