Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0，f（x）＞0，（1）求证：f

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0，f（x）＞0，（1）求证：f（x）为奇函数；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）解不等式：f[log2(x+1x+6)]+f(?3)≤0．

Answer 1

（1）令x=y=0，则f（0）=0，令y=-x，
则f（x）+f（-x）=f（0）=0，?f（-x）=-f（x），
且函数y=f（x）的定义域关于原点对称，
∴f（x）为奇函数
（2）f（x）为R上的单调增函数，设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞0，
f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）＞f（x₁）
∴f（x）为R上的单调增函数
（3）由（1）知f（0）=0及f（x）在R上单调递增
∴原不等式等价于f[log2(x+

1

x

+6)+(?3)]≤f(0)
?log2(x+

1

x

+6)≤3?0＜x+

1

x

+6≤8
?

x＞0 x2+6x+1＞0 x2?2x+1≤0

或

x＜0 x2+6x+1＜0 x2?2x+1≥0

解得解集为{x|x＝1或?3?2

2

＜x＜?3+2

2

}