Question

已知数列{an}满足a1=1，前n项和Sn=2an-n，（n∈N*）（1）证明：数列{an+1}是等比数列；（2）试比较Sn与2-

已知数列{an}满足a1=1，前n项和Sn=2an-n，（n∈N*）（1）证明：数列{an+1}是等比数列；（2）试比较Sn与2-n的大小关系．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，
∴a₁=1，解得a₁+1=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1，
∴

an+1

an?1+1

＝

2an?1+2

an?1+1

＝2
∴数列{a_n+1}是以2为首项以2为公比的等比数列．
（2）由（1）an+1＝2n，an＝2n?1，
∴Sn＝2an?n＝2n+1?n?2
又∵n∈N^*，n≥1，
∴Sn?(2?n)＝2n+1?4≥0
∴S_n≥2-n．