Question

设随机变量X分布函数为F（x，α，β）=1?(αx)β，x＞α0，x≤α（1）当α=1时，求未知参数β的矩估计和

设随机变量X分布函数为F（x，α，β）=1?(αx)β，x＞α0，x≤α（1）当α=1时，求未知参数β的矩估计和极大似然估计；（2）当β=2时，求未知参数α的极大似然估计．

Answer 1

设x₁，x₂，…x_n是来自总体的一组样本观测值
（1）当a=1时，设f（x，β）为X关于参数β的概率密度，则
f(x，β)＝F′(x，β)＝

β xβ+1 ，x＞1 0，      x≤1

①矩估计：由于EX＝

β

β+1

令EX＝

.

x

，则
β＝

. x

. x ?1

即β的矩估计为

β

＝

.

x

/(

.

x

?1)
②极大似然估计：
由于似然函数为L（x₁，x₂，…，x_n；λ）=

n π

i＝1

β

xiβ+1

∴lnL=nLnβ-（β+1）l（x₁…x_n）
令

?lnL

?β

＝0
解得
β＝

n

ln(x1…xn)

∴β的矩估计为

β

＝

n

ln(x1…xn)

（2）当β=2时，设f（x，α）为X关于参数α的概率密度，则
f(x，α)＝F′(x，α)＝

2α2 x3 ，x＞α 0，      x≤α

，
∴似然函数为L(x1，…，xn；α)＝

2nα2n (x1…xn)3 ，xi＞α 0，               其它

=

2nα2n (x1…xn)3 ，x(n)≥…≥(1)＞α 0，                 其它

容易看出当α取得最大值时，似然函数达到最大
∴

α

＝x(1)