Question

如图1，在ΔABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°，小明通过以下计算：由题意，∠B=30°，∠C=90°，c=2b，a= b

如图1，在ΔABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°，小明通过以下计算：由题意，∠B=30°，∠C=90°，c=2b，a= b，得a 2 -b 2 =（ b） 2 -b 2 =2b 2 =b·c，即a 2 -b 2 = bc，于是，小明猜测：对于任意的ΔABC，当∠A=2∠B时，关系式a 2 -b 2 =bc都成立。（1）如图2，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；（2）如图3，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由； （3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由。

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Answer 1

解：（1） 由题意，得∠A=90°，c=b，a= b， ∴a 2 -b 2 =（ b） 2 -b 2 =b 2 =bc； （2） 小明的猜想是正确的， 理由如下：如图3，延长BA至点D，使AD=AC=b，连结CD，则ΔACD为等腰三角形， ∴∠BAC=2∠ACD， 又∠BAC=2∠B， ∴∠B=∠ACD=∠D， ∴ΔCBD为等腰三角形， 即CD=CB=a， 又∠D=∠D， ∴ΔACD∽ΔCBD， ∴ ， 即 ， ∴a 2 =b 2 +bc， ∴a 2 -b 2 = bc； （3）a=12，b=8，c=10。