Question

已知函数f（x）=lnx-m（x- 1 x ）（m为实常数）（1）当m= 2 5 时，求函数f（x）在

已知函数f（x）=lnx-m（x- 1 x ）（m为实常数）（1）当m= 2 5 时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；（2）若函数f（x）无极值点，求m的取值范围．

Answer 1

（1）当m= 2 5 时，f（x）=lnx- 2 5 （x- 1 x ）， 令f′（x）= 1 x - 2 5 （1+ 1 x 2 ）=- (2x-1)(x-2) 5 x 2 =0，得x=2或x= 1 2 （舍去）， 当x∈（1，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，e）时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（1，2）上递增，在（2，e）上递减， ∴当x=2时，f（x） max =f（2）=ln2- 3 5 ； （2）f（x）定义域（0，+∞）， f′（x）= 1 x -m （1+ 1 x 2 ）= -m x 2 +x-m x 2 ， 由题意，f（x）无极值点，则f（x）在定义域（0，+∞）上单调，分如下情况讨论： ①若f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则-mx 2 +x-m≥0，即m≤ x 1+ x 2 在（0，+∞）上恒成立， 当x＞0时， x 1+ x 2 = 1 1 x +x ∈（0， 1 2 ]，∴m≤0； ②若f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，则-m 2 +x-m≤0，即m≥ x 1+ x 2 在（0，+∞）上恒成立， 当x＞0时， x 1+ x 2 = 1 1 x +x ∈（0， 1 2 ]，∴m≥ 1 2 ； 综①②，函数f（x）无极值点时，m的取值范围是（-∞，0]∪[ 1 2 ，+∞）．