Question

(13分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点，离心率 ，且其中一个焦点与抛物线 的焦点重合．(1)求椭圆 C 的方

(13分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点，离心率 ，且其中一个焦点与抛物线 的焦点重合．(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 S ( ，0)的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

x 2 + =1,存在一个定点 T (1，0)满足条件

解：(Ⅰ)设椭圆的方程为 ，离心率 ， ，抛物线 的焦点为 ，所以 ，椭圆C的方程是 x 2 + =1.…………（4分） (Ⅱ)若直线 l 与 x 轴重合，则以 AB 为直径的圆是 x 2 + y 2 =1，若直线 l 垂直于 x 轴，则以 AB 为直径的圆是( x + ) 2 + y 2 = ．高考资源网 由 解得 即两圆相切于点(1，0)．高考资源网 因此所求的点 T 如果存在，只能是(1，0)．…………（6分）高考资源网 事实上，点 T (1，0)就是所求的点．证明如下： 当直线 l 垂直于 x 轴时，以 AB 为直径的圆过点 T (1，0)． 若直线 l 不垂直于 x 轴，可设直线 l ： y = k ( x + )．高考资源网 由 即( k 2 +2) x 2 + k 2 x + k 2 -2=0.高考资源网 记点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则 …………（9分高考资源网） 又因为 =( x 1 -1, y 1 ), =( x 2 -1, y 2 ), · =( x 1 -1)( x 2 -1)+ y 1 y 2 =( x 1 -1)( x 2 -1)+ k 2 ( x 1 + )( x 2 + )高考资源网 =( k 2 +1) x 1 x 2 +( k 2 -1)( x 1 + x 2 )+ k 2 +1高考资源网 =( k 2 +1) +( k 2 -1) + +1=0，高考资源网 所以 TA ⊥ TB ，即以 AB 为直径的圆恒过点 T (1，0)． 所以在坐标平面上存在一个定点 T (1，0)满足条件． …………（13分）