如图,已知正方形ABCD的边长为4cm,动点P从点B出发,以2cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动;动点Q从点A出

如图,已知正方形ABCD的边长为4cm,动点P从点B出发,以2cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动;动点Q从点A出发,以1cm/s的速度沿A→B方向向点B运动.若P、... 如图,已知正方形ABCD的边长为4cm,动点P从点B出发,以2cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动;动点Q从点A出发,以1cm/s的速度沿A→B方向向点B运动.若P、Q两点同时出发,运动时间为t秒.(1)连接PD、PQ、DQ,求当t=1时,△PQD的面积S.(2)试求当点P在BC上时S的最小值及当点P在CD上时S的最大值;(3)当点P在BC上运动时,是否存在这样的t,使得△PQD是等腰三角形?若存在,请求出符合条件的t的值;若不存在,请说明理由. 展开
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甄绮兰4f
2015-01-22 · TA获得超过459个赞
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解:(1)如图1,当t=1时,AQ=1cm,BQ=4-AQ=3(cm),BP=CP=2cm.
S=S正方形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△PCD
=42-
1
2
×4×1-
1
2
×2×3-
1
2
×2×4=7(cm2).

(2)①如图1,当0≤t≤2时,即点P在BC上时,
S=S正方形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△PCD
=16-
1
2
?4?t-
1
2
?2 t?(4-t)-
1
2
?(4-2 t)?4
=t2-2 t+8.
=(t-1)2+7.
∴当t=1时,S有最小值7.
②如图2,当2≤t≤4时,即点P在CD上时,DP=8-2 t.
S=
1
2
?(8-2 t)?4=16-4 t.
根据一次函数的性质,S随t的增大而减小,
∴当t=2时,S有最大值8.

(3)①如图3,若PD=QD,则Rt△DCP≌Rt△DAQ(HL).
∴CP=AQ.即t=4-2 t,
解得t=
4
3

②如图4,若PD=PQ,则PD2=PQ2,即42+(4-2t)2=(4-t)2+(2t)2
解得:t=-4±4
2
,其中t=-4-4
2
<0不合题意,舍去,
∴t=-4+4
2

③如图5,若DQ=PQ,则DQ2=PQ2
即42+t2=(4-t)2+(2t)2
解得t=0或t=2.
∴t=
4
3
或t=-4+4
2
或t=0或t=2时,△PQD是等腰三角形.
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