Question

如图，△ABC中，BC=6，AC=42，∠C=45°，P为BC边上的动点，过P作PD∥AB交AC于点D，连接AP，△ABP，△APD

如图，△ABC中，BC=6，AC=42，∠C=45°，P为BC边上的动点，过P作PD∥AB交AC于点D，连接AP，△ABP，△APD，△CDP的面积分别记为S1，S2，S3，设BP=x．（1）试用x的代数式分别表示S1，S2，S3；（2）当P点在什么位置时，△APD的面积最大，并求最大值．

Answer 1

解：（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，
由Rt△AEC中，AC=4

2

，∠C=45°，得到此三角形为等腰直角三角形，
∴sin45°=

AE

AC

，即AE=ACsin45°=4

2

×

2

2

=4，
则△ABC中BC边上的高为4，设△CDP中PC边上的高为h，
则

h

4

＝

6?x

6

?h＝

2

3

(6?x)(0＜x＜6)；
这样S₁=2x，S₃=

1

2

(6?x)?

2

3

(6?x)＝

1

3

(6?x)2，
S₂=12-2x-

1

3

(6?x)2=?

1

3

x2+2x；

（2）S₂=?

1

3

x2+2x=?

1

3

(x2?6x+9)+3=?

1

3

(x?3)2+3，
所以当x=3时，y有最大值3；此时BP=3，即P是BC的中点．