Question

证明正定矩阵

1 a a^2......a^n
a 1 a a^2......a^n-1
......
a^n a^n-1......1

Answer 1

这道题需要增加一个条件：实数a的绝对值|a| < 1 。
把上述n+1阶实对称矩阵记为A_{n+1}.
令B为如下n+1阶矩阵
1 0 0 0 ... 0 0 0
-a 1 0 0 ... 0 0 0
0 -a 1 0 ... 0 0 0
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... 1 0 0
0 0 0 0 ... -a 1 0
0 0 0 0 ... 0 -a 1
则BA为一个上三角矩阵
1 a a^2 ... ...
0 1-a^2 a-a^3 ... ...
0 0 1-a^2 ... ...
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1-a^2
故行列式|A| = |B||A| = |BA| = (1-a^2)^n > 0.
可见A的k阶顺序主子式= |A_k| = (1-a^2)^{k-1} > 0,
其中1 <= k <= n+1 (k大于或等于1, 且小于或等于n+1).
由Sylvester定理(实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于0)可知上述A_{n+1}正定。