Question

高等数学：关于积分与路径无关的问题

定理1.只要P,Q在区域D连续（不论D是否是单连通），都有∫Pdx+Qdy在D与路径无关（Pdx+Qdy在D上存在原函数）
定理2.在单连通区域D上，P,Q有连续偏导数，P,，Q的偏导数相等，则∫Pdx+Qdy在D与路径无关（等价说法Pdx+Qdy在D上存在原函数）
我想问，这定理1的条件不已经包含了定理2了吗，P，Q由连续变成偏导数连续（性质加强了），区域D也变成了单连通域，为什么反而还要再加一个P,Q偏导数相等，定理1的结论不照样成立吗？很多第二类曲线积分题目中，区域都是单连通域，P,Q也都是初等函数，偏导数连续也都满足，但计算时要么用定义法，要么补成封闭图形，用格林公式。如果用定理1的理解，积分与路径无关不都成立吗？

Answer 1

不知道定理1从何而来？我所见过的同济版高数课本上只介绍定理2，如果判断出来曲线积分与路径无关，那就在保持起点与终点不变的前提，用简单的直线段或折线段替换原积分路径，简化计算过程。
至于有的题目不这样做，原因可能是题目要求或者题目所属章节的原因，还没有学到这个知识点，自然只能用以前介绍的方法了。

追问

这是李永乐复习全书上的，我在教材上也没看到过。

追答

搜索了一下，发现这个在某些论文里面倒是有所涉及，但是教材里面还没有提到这一点。不敢用。