Question

如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E．

如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E． （1）试说明BD＝DF；（2）请写出图中所有的等腰三角形；（3）线段BD，CE，DE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

（1）∵BF平分∠ABC  ∴∠ABF﹦∠CBF   ∵DF∥BC  ∴∠BFD﹦∠CBF  ∴∠ABF﹦∠BFD  ∴BD=DF  …4分 (2)ΔBDF，ΔCEF  …8分 （3）BD=CE+DE …9分 理由：由（1）知BD=DF，同理CE=EF ∵DF=DE+EF   ∴BD=CE+DE …12分

（1）根据角平分线和平行线的性质求证 （2）根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，因此可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形； （3）由（1）可得出DF=BD，CE=EF，所以得BD-CE=DE．