Question

设函数 f(x)= x 3 3 -(a+1) x 2 +4ax+b，其中a、b∈R （Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极

设函数 f(x)= x 3 3 -(a+1) x 2 +4ax+b，其中a、b∈R （Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极小值是 1 2 ，求a、b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）若函数f（x）在（-1，1）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）∵f′（x）=x 2 -2（a+1）x+4a（3分） ∴f′（3）=9-6（a+1）+4a=0得  a= 3 2 （4分） ∵ f(3)= 1 2 解得：b=-4（5分） （II）∵f′（x）=x 2 -2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2） 令f′（x）=0，即x=2a或x=2．（7分） 当a＞1时，2a＞2，∴f′（x）＞0时，x＞2a或x＜2，即f（x）的单调递增区间为（-∞，2）和（2a，+∞）．（8分） 当a=1时，f′（x）=（x-2） 2 ≥0，即f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．（9分） 当a＜1时，2a＜2，∴f′（x）＞0时，x＜2a或x＞2，即f（x）的单调递增区间为（-∞，2a）和（2，+∞）．（10分） （Ⅲ）由题意可得： a＜1 f ′ (-1)? f ′ (1)＜0 （12分） ∴（2a-1）（2a+1）＜0 ∴ - 1 2 ＜a＜ 1 2 ∴a的取值范围 (- 1 2 ， 1 2 ) （14分）