Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点

如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．（1）求证：EF⊥PD；（2）求直线PF与平面PBD所成的角的大小；（3）求二面角E-PF-B的大小．

Answer 1

（1）证明：连接BD 在△ABC中，∠ABC=90° ∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC ∵PB⊥平面ABC，∴BD为PD在平面ABC内的射影 ∴PD⊥AC ∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF ∥ AC ∴EF⊥PD； （2）∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥EF． 连接BD交EF于点O，∵EF⊥PB，EF⊥PD，∴EF⊥平面PBD， ∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角，EF⊥PO． ∵PB⊥面ABC，∴PB⊥AB，PB⊥BC，又∵∠PAB=45°， ∴PB=AB=2． 在Rt△FPO中，OF= 1 4 AC = 2 2 ，PF= P B 2 +B F 2 = 5 ∴sin∠FPO= OF PF = 10 10 ∴直线PF与平面PBD所成的角为arcsin 10 10 ； （3）过点B作BM⊥PF于点F，连接EM， ∵AB⊥PB，AB⊥BC， ∴AB⊥平面PBC，即BM为EM在平面PBC内的射影， ∴EM⊥PF， ∴∠EMB为二面角E-PF-B的平面角． ∵Rt△PBF中，BM= PB?BF PF = 2 5 ∴tan∠EMB= EB BM = 5 2 ∴二面角E-PF-B的大小为arctan 5 2 ．