Question

已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值

已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值．（2）求f（x）的解析式．（3）已知a∈R，设P：当 时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩C R B（R为全集）．

Answer 1

解：（1）令x=﹣1，y=1，则由已知f（0）﹣f（1）=﹣1（﹣1+2+1） ∴f（0）=﹣2 （2）令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1） 又∵f（0）=﹣2 ∴f（x）=x 2 +x﹣2 （3）不等式f（x）+3＜2x+a即x 2 +x﹣2+3＜2x+a 也就是x 2 ﹣x+1＜a． 由于当 时， ， 又x 2 ﹣x+1= 恒成立， 故A={a|a≥1}，g（x）=x 2 +x﹣2﹣ax=x 2 +（1﹣a）x﹣2 对称轴x= ， 又g（x）在[﹣2，2]上是单调函数， 故有 ， ∴B={a|a≤﹣3，或a≥5}，C R B={a|﹣3＜a＜5} ∴A∩C R B={a|1≤a＜5}．