Question

设函数f（x）=x 2 +aln（x+1）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+ln

设函数f（x）=x 2 +aln（x+1）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+ln 2 有两个极值点x 1 ，x 2 且x 1 ＜x 2 ，求证F（x 2 ）＞ 1 4 ．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），（1分） f ′ (x)=2x+ a x+1 = 2 x 2 +2x+a x+1 ，（x＞-1），（2分） 令g（x）=2x 2 +2x+a，则△=4-8a． ①当△＜0，即a ＞ 1 2 时，g（x）＞0，从而f′（x）＞0， 故函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增；（3分） ②当△=0，即a= 1 2 时，g（x）≥0，此时f′（x）≥0，此时f′（x）在f′（x）=0的左右两侧不变号， 故函数f（x）在（-1，0）上单调递增； （4分） ③当△＞0，即a＜ 1 2 时，g（x）=0的两个根为 x 1 = -1- 1-2a 2 ， x 2 = -1+ 1-2a 2 ＞- 1 2 ， 当 1-2a ≥1 ，即a≤0时，x 1 ≤-1，当0＜a＜ 1 2 时，x 1 ＞-1． 故当a≤0时，函数f（x）在（-1， -1+ 1-2a 2 ）单调递减，在（ -1+ 1-2a 2 ，+∞）单调递增； 当0＜a＜ 1 2 时，函数f（x）在（-1， -1- 1-2a 2 ），（ -1+ 1-2a 2 ，+∞）单调递增， 在（ -1- 1-2a 2 ， -1+ 1-2a 2 ）单调递减．（7分） （Ⅱ）∵F（x）=f（x）+ln 2 ，∴F′（x）=f′（x）， ∴当函数F（x）有两个极值点时0＜a＜ 1 2 ，0＜ 1-2a ＜1， 故此时x 2 = -1+ 1-2a 2 ∈（- 1 2 ，0），且g（x 2 ）=0，即a=-（2 x 2 2 +2x 2 ），（9分） ∴F（x 2 ）= x 2 2 +aln（1+x 2 ）+ln 2 = x 2 2 -（ 2 x 2 2 +2 x 2 ）ln（1+x 2 ）+ln 2 ， 设h（x）=x 2 -（2x 2 +2x）ln（1+x）+ln 2 ，其中- 1 2 ＜x＜0 ，（10分） 则h′（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）， 由于- 1 2 ＜x＜0 时，h′（x）＞0， 故函数h（x）在（- 1 2 ，0）上单调递增， 故h（x）．h（- 1 2 ）= 1 4 ． ∴F（x 2 ）=h（x 2 ）＞ 1 4 ．（14分）