已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R,a≠0).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在
已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R,a≠0).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为π4,问:m在...
已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R,a≠0).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为π4,问:m在什么范围取值时,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[m2+f′(x)]在区间[t,3]上总存在极值?(Ⅲ)当a=2时,设函数h(x)=(p?2)x?p+2ex?3,若在区间[1,e]上至少存在一个x0,使得h(x0)>f(x0)成立,试求实数p的取值范围.
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(Ⅰ)∵f′(x)=
-a=a(
)(x>0),
∴(1)当a>0时,令f′(x)>0时,解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)递增;
令f′(x)<0时,解得x>1,所以f(x)在(1,+∞)递减.
当a<0时,f′(x)=-a(
),令f′(x)>0时,解得x>1,所以f(x)在(1,+∞)递增;
令f′(x)<0时,解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)递减;
(Ⅱ)因为函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,
所以f′(2)=1,所以a=-2,f′(x)=-
+2,
g(x)=x3+x2[
+f′(x)]=x3+x2[
+2-
]=x3+(2+
)?x2-2x,
∴g′(x)=3x2+(4+m)x-2,
因为对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[
+f′(x)]在区间[t,3]上总存在极值,
所以只需 g′(2)<0 g′(3)>0,解得-
<m<-9;
(Ⅲ)∴令F(x)=h(x)-f(x)=(p-2)x-
-3-2lnx+2x+3=px-
-
-2lnx,
①当p≤0时,由x∈[1,e]得px-
≤0,-
-2lnx<0.
所以,在[1,e]上不存在x0,使得h(x0)>f(x0)成立;
②当p>0时,F′(x)=
,
∵x∈[1,e],
∴2e-2x≥0,px2+p>0,F′(x)>0在[1,e]上恒成立,故F(x)在[1,e]上单调递增.
∴F(x)max=F(e)=pe-
-4.
故只要pe-
-4>0,解得p>
.所以p的取值范围是[
,+∞).
a |
x |
1?x |
x |
∴(1)当a>0时,令f′(x)>0时,解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)递增;
令f′(x)<0时,解得x>1,所以f(x)在(1,+∞)递减.
当a<0时,f′(x)=-a(
x?1 |
x |
令f′(x)<0时,解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)递减;
(Ⅱ)因为函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,
所以f′(2)=1,所以a=-2,f′(x)=-
2 |
x |
g(x)=x3+x2[
m |
2 |
m |
2 |
2 |
x |
m |
2 |
∴g′(x)=3x2+(4+m)x-2,
因为对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[
m |
2 |
所以只需 g′(2)<0 g′(3)>0,解得-
37 |
3 |
(Ⅲ)∴令F(x)=h(x)-f(x)=(p-2)x-
p+2e |
x |
p |
x |
2e |
x |
①当p≤0时,由x∈[1,e]得px-
p |
x |
2e |
x |
所以,在[1,e]上不存在x0,使得h(x0)>f(x0)成立;
②当p>0时,F′(x)=
px2?2x+p+2e |
x2 |
∵x∈[1,e],
∴2e-2x≥0,px2+p>0,F′(x)>0在[1,e]上恒成立,故F(x)在[1,e]上单调递增.
∴F(x)max=F(e)=pe-
p |
e |
故只要pe-
p |
e |
4e |
e2?1 |
4e |
e2?1 |
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