Question

已知函数f（x）=lg（x+ax-2），其中a为大于零的常数．（1）当a=1时，求函数f（x）的定义域；（2）若对任

已知函数f（x）=lg（x+ax-2），其中a为大于零的常数．（1）当a=1时，求函数f（x）的定义域；（2）若对任意x∈[2，+∞），恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围；（3）若f（x）的值域为R，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由 x+

a

x

?2＞0得，

x2?2x+a

x

＞0，
a=1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
 即 x+

a

x

?2＞1对x∈[2，+∞）恒成立
∴a＞3x-x²，而 h(x)＝3x?x2＝?(x?

3

2

)2+

9

4

在x∈[2，+∞）上是减函数，
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2．
（3）函数 f(x)＝loga(x+

a

x

?2)，（a＞0）的值域为R，其真数在实数集上不恒为正，
即 x+

a

x

?2＞0不恒成立，即存在x∈R使得 x+

a

x

≤2，又a＞0
故可求 x+

a

x

的最小值，令其小于等于2
∵x+

a

x

≥2

a

∴2

a

≤2，解得a≤1，
故实数a的取值范围是（0，1]．