Question

已知f(x)＝x3+ax2+bx+c在x＝1与x＝?23时都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-

已知f(x)＝x3+ax2+bx+c在x＝1与x＝?23时都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-c2＜0成立，求c的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由已知，f'（x）=3x²+2ax+b，∵在x＝1与x＝?

2

3

时取极值，
∴

f′(1)＝0 f′( 2 3 )＝0

即

3+2a+b＝0 3×(? 2 3 )2+2a×(? 2 3 )+b＝0

解得a＝?

1

2

，b＝?2，故a，b的值为：?

1

2

，?2
（Ⅱ）（解法一）由（I）知f(x)＝x3?

1

2

x2?2x+c．由f(x)?c2＜0得：x3?

1

2

x2?2x＜c2?c在[?1，2]上恒成立．
设g(x)＝x3?

1

2

x2?2x(x∈[?1，2])，g′(x)＝3x2?x?2．…（8分）
由g′(x)＝0得，x＝?

2

3

或x＝1．，g(?1)＝

1

2

，g(?

2

3

)＝

22

27

，g(1)＝?

3

2

，g(2)＝2．…（10分）
∴[g（x）]_max=2，∴2＜c²-c解得，c＜-1或c＞2．，
∴c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．
（解法二）由（I）