Question

（A题）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值．（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间；

（A题）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值．（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=f（x）-2c，试讨论函数g（x）的零点个数，并说明理由．

Answer 1

（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c知，f′（x）=3x²+2ax+b
由于函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

与x=1时都取得极值
则f′（-

2

3

）=3×（-

2

3

）²+2a×（-

2

3

）+b=

12

9

?

4

3

a+b＝0，
f′（1）=3×1²+2a×1+b=3+2a+b=0
解得a=-

1

2

，b=-2
则f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数f（x）的递增区间是（-∞，-

2

3

）与（1，+∞），递减区间是（-

2

3

，1）；
（2）由（1）知：f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，当x=?

2

3

时，f（-

2

3

）=

22

27

+c为极大值，当x=1时，f(1)＝c?

3

2

为极小值，
由于g(x)＝f(x)?2c＝0?

y＝f(x) y＝2c

，则
①当2c＜c?

3

2

或2c＞c+

22

27

，即c＜?

3

2

或

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