（2013?香坊区二模）在△ABC中，H为BC边上一点，连接AH，且∠BAH=∠BCA，∠ABC的角分线分别交AH、AC于D、
（2013?香坊区二模）在△ABC中，H为BC边上一点，连接AH，且∠BAH=∠BCA，∠ABC的角分线分别交AH、AC于D、E两点，过点D作DF∥BC交于点F．（1）如...
（2013?香坊区二模）在△ABC中，H为BC边上一点，连接AH，且∠BAH=∠BCA，∠ABC的角分线分别交AH、AC于D、E两点，过点D作DF∥BC交于点F．（1）如图1，求证：AD=FC；（2）如图2，若BD=BH，且AE=2EF，作BM⊥DH，垂足为M，BM的延长线交AC于点G，请探究线段DF与CG之间的数量关系，并证明你的结论．
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证明：（1）过D作DP∥AC交BC于点P，
∵DP∥AC，DF∥BC，
∴四边形FDPC是平行四边形，
∴FC=DP，∠C=∠DPH，
∵∠BAH=∠C，
∴∠DPH=∠ABD，
∵在△ABD与△PBD中
∴△ABD≌△PBD（AAS），
∴AD=DP，
∵DP=FC．
（2）DF=
GC，
证明：∵BD=BH，
∴∠BDH=∠BHD，
∵∠BDH=∠ABD+∠BAD，∠BEA=∠EBC+∠BCA，∠ABD=∠EBC，∠BAD=∠BCA，
∴∠AED=∠BDH=∠BHD=∠ADE，∠ABD=∠HAC=∠DBH，
∴AD=AE，
∵DF∥BC，
∴∠EDF=∠EBC=∠DAE，
∵∠DFE=∠DFE，
∴△FDE∽△FAD，
∴DF2=EF?AF，
＝
，
设AE=2a，EF=a，
∴AD=FC=2a，DF2=a?（2a+a）=3a2
∴DF=
a，
∴
=
∴DE=
a，
∵DF∥BC，
∴
＝
∵DP∥AC，DF∥BC，
∴四边形FDPC是平行四边形，
∴FC=DP，∠C=∠DPH，
∵∠BAH=∠C，
∴∠DPH=∠ABD，
∵在△ABD与△PBD中
|
∴△ABD≌△PBD（AAS），
∴AD=DP，
∵DP=FC．
（2）DF=
5
| ||
| 9 |
证明：∵BD=BH，
∴∠BDH=∠BHD，
∵∠BDH=∠ABD+∠BAD，∠BEA=∠EBC+∠BCA，∠ABD=∠EBC，∠BAD=∠BCA，
∴∠AED=∠BDH=∠BHD=∠ADE，∠ABD=∠HAC=∠DBH，
∴AD=AE，
∵DF∥BC，
∴∠EDF=∠EBC=∠DAE，
∵∠DFE=∠DFE，
∴△FDE∽△FAD，
∴DF2=EF?AF，
| DE |
| AD |
| EF |
| DF |
设AE=2a，EF=a，
∴AD=FC=2a，DF2=a?（2a+a）=3a2
∴DF=
| 3 |
∴
| DE |
| 2a |
| a | ||
|
∴DE=
2
| ||
| 3 |
∵DF∥BC，
∴
| DF |
| BC |
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