Question

设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[2，3]上的值域为[-2，5]，则f（x）

设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[2，3]上的值域为[-2，5]，则f（x）在区间[-2，6]上的值域为______．

Answer 1

因为g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，
则g（x）=g（x+1）；
又因为f（x）=x+g（x）在区间[2，3]上的值域为[-2，5]，
令x+3=t，∵x∈[2，3]，∴t=x+3∈[5，6]，
则f（t）=t+g（t）=（x+3）+g（x+3）=（x+3）+g（x）=[x+g（x）]+3，
所以t∈[5，6]，f（t）∈[1，8]①．
再令x-4=t，∵x∈[2，3]，∴t=x-4∈[-2，-1]，
则f（t）=t+g（t）=（x-4）+g（x-4）=（x-4）+g（x）=[x+g（x）]-4，
所以t∈[-2，-1]，f（t）∈[-6，1]②．
综上，可得f（x）=x+g（x）在区间[-2，6]上的值域为[-6，8]．
故答案为：[-6，8]．